Эпюры поперечной силы, вращающиеся моменты

Задача 5.

К стальному валу приложены три вращающих момента.
Требуется:
Определить реактивный момент в заделке.
Построить эпюру крутящих моментов.
Определить диаметр вала (расчеты из условия прочности и жесткости).
Построить эпюру углов закручивания.

Рис.1

Исходные данные: допускаемое касательное напряжение – [τ]=50 МПа; допускаемый относительный угол закручивания - [φ°]=0,5 м-1; модуль сдвига – G = 80 МПа; а = 1,2 м; b = 1,9 м; с = 1,3 м; М1 = 13 кН∙м; М2 = 10 кН∙м; М3 = 7 кН∙м.

Вал постоянного поперечного сечения диаметром d защемлен одним концом и загружен внешними скручивающими моментами М1 = 13 кН∙м; М2 = 10 кН∙м; М3 = 7 кН∙м. Материал вала – сталь 3, допускаемый относительный угол закручивания - [φ]=0,5 м-1; модуль сдвига – G = 80 МПа.

Решение.
Реактивный момент в заделке найдем из условия равновесия.
М_0+М_1+М_2+М_3=0,
М_0=М_1-М_2+М_3=13-10+7=10 кН∙м.
Так как величина момента получена положительной, следовательно, направление момента выбрано верно.
Построение эпюры крутящих моментов Tz.
Используем метод сечений. Вал разбиваем на три силовых участка. Крутящий момент в каждом сечении определяется как алгебраическая сумма внешних скручивающих моментов, взятых по одну сторону от сечения. Правило знаков для моментов принимаем произвольно. Расчет ведем со свободного конца вала.
Первый участок: 0≤z_3≤1,3 м.
T_(z_3 )=M_3=7кН∙м=const.
Второй участок: 0≤z_2≤1,9 м.
T_(z_2 )=M_3-M_2=10-7=-3 кН∙м=const.
Третий участок: 0≤z_1≤1,2м.
T_(z_1 )=M_3-M_2+M_1=10-7+13=10 кН∙м=const.
По полученным данным строим эпюру крутящих моментов Tz.
Расчет диаметра вала
На основании эпюры выбираем максимальное значение крутящего момента T_MAX=10 кН∙м. Определяем диаметр вала:
d^'≥∛((16∙T_MAX)/(π∙[τ] ))=∛((16∙10^4)/(3,14∙80∙10^6 ))=0,086 м≈86 мм- из условия прочности;
d^''≥∜((32∙T_MAX)/(π∙G∙[φ°] )∙180/π)=∜((32∙10^4)/(3,14∙0,8∙10^11∙0,5)∙180/3,14)=0,11 м≈110 мм - из условия жесткости.
За окончательный принимается больший диаметр, т.е. d = d’’=110 мм.
Построение эпюры абсолютных углов закручивания.
Предварительно определяем полярный момент инерции сечения:
I_ρ=(π∙d^4)/32=(3,14∙〖0,11〗^4)/32=14,4∙10^(-6) м^4.
Эпюра углов закручивания строится по характерным сечениям, начиная от закрепленного торца.
Сечение а не поворачивается, т.е. угол поворота φ_0=0.
Угол поворота сечения b относительно неподвижного сечения а равен углу закручивания на участке ab:
φ_b=φ_ab=(T_ab∙l_ab)/(G∙I_ρ )=(10∙10^3∙1,2)/(0,8∙10^11∙14,4∙10^(-6) )=104∙10^(-4) рад.
Угол поворота сечения с относительно неподвижного сечения а складывается из угла поворота сечения b и угла закручивания на участке bc: